exestudiary

Random vector  Joint Cumulative Distribution Function Joint PDF / PMF Marginal CDF and PDF / PMF  example  Expectation Theorem   Remark Example     Joint Moment Generating Function Remark example  Expected value of Random vector

Theorem Markov's inequality Chebyshev's inequality   Convex function  Theorem  Jenson's inequality example

Mean and Varianceexample r-th moment and Central momentexample Moment Generating Function MGF CGF  Uniqueness of MGF   example

Expectation Theorem1.8.1 1.8.2

Continuous Random Variables Transformationsexample

Discrete Random Variables Transformations Example

Random variables(확률 변수) random variable 은 일종의 함수라고 생각하면 된다.probability space에서 real space(실수 집합)으로 mapping이 된다고 생각하면 된다.  예를 들어 random variable $ X $를 주사위를 두 번 굴려서 나온 윗 면의 합이라고 하면,$X(i, j) = i + j$로 나타낼 수 있고 $ X $의 space는 {2, ... 12}가 된다. The Sample space는 $ {(i, j) : 1 \leq i, j \leq 6} $이 되고 $ P[{(i, j)}] = 1 / 36 $이다. 즉, 주사위 윗면의 의미로서 1, 2, 3, 4, 5, 6이 X라는 확률변수 함수를 만나서 실수로 표현이 될 수 있다는 것이다. Pro..

Conditional Probability (조건부 확률)The probability that $C_2$ occurs given that event $C_1$ has occurred is called the conditional probability of $C_2$ given $C_1$ and is defined by  그림으로 표현하자면 아래와 같다.Conditional probability is a probability? 조건부확률이 확률의 정의를 만족하는지 살펴보자. Properites of Conditional Probability Ex. Four cards are to be dealt successively, at random and without replacement, from an ordin..

$\sigma$-field $ \sigma $ - field는 위의 세 조건을 반드시 만족해야한다.  Example1. Find the smallest $\sigma$-field of subsets of $C$(체) = {1, 2, 3}.2. Find the largest $\sigma$-field of subsets of $C$(체) = {1, 2, 3}.   Probability Space    Theorems    Remark Thm 3.6. Continuity Property위의 특징을 시각화하면 아래의 그림과 같다.반드시 increasing sequence라는 조건이 있어야 한다.증명을 해보면파란색 별 모양이 의미하는 것이 $C_n$이 increasing sequence 중에서 가장 마지막에 나..

1. Set and Subset- Set: a collection of objects (elements).- 어떤 Set $ C_1 $의 모든 element가 $ C_2 $의 element라면 Set $ C_1 $ 은 $ C_2 $의 Subset이라고 한다. ∀ $  x \in C_1 $ , $x \in C_2 $ Denoted by C_1 \subset C_2  Example - Define two sets $ C_1 $ = {(x, y) : 0 $\leq$  $x$ = $y$ $\leq$ 1}  and $ C_2 $ = {($x$, $y$) : 0 $\leq$ $x$ $\leq$ 1, 0 $\leq$ $y$ $\leq$ 1}. Because the elements of $ C_1 $ are the p..