Random variables

Random variables(확률 변수)

 

random variable 은 일종의 함수라고 생각하면 된다.

probability space에서 real space(실수 집합)으로 mapping이 된다고 생각하면 된다. 

 

예를 들어 random variable $X$를 주사위를 두 번 굴려서 나온 윗 면의 합이라고 하면,

$X(i, j) = i + j$로 나타낼 수 있고 $X$의 space는 {2, ... 12}가 된다. 

The Sample space는 ${(i, j) : 1 \leq i, j \leq 6}$이 되고 $P[{(i, j)}] = 1 / 36$이다.

 

즉, 주사위 윗면의 의미로서 1, 2, 3, 4, 5, 6이 X라는 확률변수 함수를 만나서 실수로 표현이 될 수 있다는 것이다.

 

Probability Mass Function

 

여기서 앞서 말한 주사위 사례를 들어보자. 

$B_1 = {x : x = 7, 11}$ and $B_2 = {x: x = 2, 3, 12}$ 라고 할 때,

$P_x(B_1) & P_x(B_2)$를 구해보자. 그러면 간단하게 다음과 같이 나타내면 된다. 

 

 

Probability Density Function

 

Choosing a real number at random from (0, 1).

Let $X$ be the number chosen & the space of $X$ is $D$(데, space의 개념이다.) = (0, 1).

 

The pdf of $X$ is $f_X(x) = I_(0 < x < 1)$, where $I_A$ be an indicator function of a set $A$.

 

E.g. the probability that $X$ is less than an eighth or greater than seven eights is 

$$P[{X < 1/8} \cup {X > 7/8}] = \int_0^\frac{1}{8} \mathrm{d}x + \int_\frac{7}{8}^1 \mathrm{d}x = \frac{1}{4}$$  

 

 

Cumulative Distribution Function(CDF)

 

Example 

Suppose we roll a fair die. Let $X$ be the upface of the roll and the space of $X$ is {1, 2, 3, 4, 5, 6}.  

 

The pmf is $p_X(i) = 1/ 6, i = 1, 2, 3, 4, 5, 6$.

If $x < 1, P(X \leq x) = 0$; If $1 \leq x < 2, P(X \leq x) = p_X(1) = 1 /6$, and so on. 

 

Hence, the cdf of $X$ is

 

 

= 위에 D가 있는 것은 X 와 Y의 확률 변수가 같다는 의미가 아니라 CDF가 같다는 뜻이다. 즉, 분포적 성질이 같다는 것과 같다. 

 

 

Theorems