Random variables(확률 변수)
random variable 은 일종의 함수라고 생각하면 된다.
probability space에서 real space(실수 집합)으로 mapping이 된다고 생각하면 된다.
예를 들어 random variable $ X $를 주사위를 두 번 굴려서 나온 윗 면의 합이라고 하면,
$X(i, j) = i + j$로 나타낼 수 있고 $ X $의 space는 {2, ... 12}가 된다.
The Sample space는 $ {(i, j) : 1 \leq i, j \leq 6} $이 되고 $ P[{(i, j)}] = 1 / 36 $이다.
즉, 주사위 윗면의 의미로서 1, 2, 3, 4, 5, 6이 X라는 확률변수 함수를 만나서 실수로 표현이 될 수 있다는 것이다.
Probability Mass Function
여기서 앞서 말한 주사위 사례를 들어보자.
$B_1 = {x : x = 7, 11}$ and $B_2 = {x: x = 2, 3, 12}$ 라고 할 때,
$P_x(B_1) & P_x(B_2)$를 구해보자. 그러면 간단하게 다음과 같이 나타내면 된다.
Probability Density Function
Choosing a real number at random from (0, 1).
Let $X$ be the number chosen & the space of $ X $ is $ D $(데, space의 개념이다.) = (0, 1).
The pdf of $X$ is $f_X(x) = I_(0 < x < 1)$, where $I_A$ be an indicator function of a set $A$.
E.g. the probability that $X$ is less than an eighth or greater than seven eights is
$$ P[{X < 1/8} \cup {X > 7/8}] = \int_0^\frac{1}{8} \mathrm{d}x + \int_\frac{7}{8}^1 \mathrm{d}x = \frac{1}{4}$$
Cumulative Distribution Function(CDF)
Example
Suppose we roll a fair die. Let $X$ be the upface of the roll and the space of $X$ is {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
The pmf is $p_X(i) = 1/ 6, i = 1, 2, 3, 4, 5, 6$.
If $x < 1, P(X \leq x) = 0$; If $1 \leq x < 2, P(X \leq x) = p_X(1) = 1 /6$, and so on.
Hence, the cdf of $X$ is
= 위에 D가 있는 것은 X 와 Y의 확률 변수가 같다는 의미가 아니라 CDF가 같다는 뜻이다. 즉, 분포적 성질이 같다는 것과 같다.
Theorems
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