Sigma Field

$\sigma$-field

 

$ \sigma $ - field는 위의 세 조건을 반드시 만족해야한다. 

 

Example

1. Find the smallest $\sigma$-field of subsets of $C$(체) = {1, 2, 3}.

2. Find the largest $\sigma$-field of subsets of $C$(체) = {1, 2, 3}.

 

 

 

Probability Space

 

 

 

 

Theorems 

 

 

 

Remark

 

Thm 3.6. Continuity Property

위의 특징을 시각화하면 아래의 그림과 같다.

반드시 increasing sequence라는 조건이 있어야 한다.

증명을 해보면

파란색 별 모양이 의미하는 것이 $C_n$이 increasing sequence 중에서 가장 마지막에 나오는 집합이기에 앞서 나온 집합들을 다 포함할 수 있다는 것이다. 그러고 난 다음에 우리는 donut 모양으로 집합을 생각할 것인데 이것은 mutually exclusive의 성질을 사용하여 집합의 덧셈으로 표현하기 위함이다. 아래와 같이 표현할 수있다. 

 

그러면 mutually exclusive 하기에 다음과 같이 표현이 가능하다.

 

 

 

decreasing sequence의 경우에도 같은 방향으로 살펴볼 수 있다. 그런데 이 때는 여집합을 사용해서 mutually exclusive한 성질을 사용하고자 한다. 

이것이 성립하기 때문에 모든 식에 여집합을 취해주면 증명하고자 하는 식이 도출된다.