Set Theory

1. Set and Subset

- Set: a collection of objects (elements).

- 어떤 Set $ C_1 $의 모든 element가 $ C_2 $의 element라면 Set $ C_1 $ 은 $ C_2 $의 Subset이라고 한다.

∀ $  x \in C_1 $ , $x \in C_2 $

 

Denoted by C_1 \subset C_2

 

 

Example 

- Define two sets $ C_1 $ = {(x, y) : 0 $\leq$  $x$ = $y$ $\leq$ 1}  and $ C_2 $ = {($x$, $y$) : 0 $\leq$ $x$ $\leq$ 1, 0 $\leq$ $y$ $\leq$ 1}. Because the elements of $ C_1 $ are the points on one diagonal of the square, then $C_1 \subset C_2 $. 

- Remark: $C_1 = C_2$  <=> $ C_1 \subset C_2$ & $C_2 \subset C_1 $

 

 

2. Intersection 

- Intersection: $ C_1 \cap C_2 $ (= {$x$ | $x \in C_1$ and $ x \in C_2$})

 

집합이 유한개: 

집합이 무한개: 

 

 

- Null set: $ C = \emptyset $

 

If $ C_1 \cap C_2 = \emptyset $, then $C_1$ and $C_2$ are said to be mutually exclusive or disjoint.

 

 

 

3. Union

- Union: $C_1 \cup C_2$ (= {x | $ x \in C_1$ or $ x \in C_2 $})

- (Notation) 

- 집합의 수에 따라 나눈 것(위: 유한개, 아래: 무한개)

 

 

4. Space and Complement

Space의 개념은 Basic concepts 참고

 

여기서 보면 Space의 표기가 다르다는 것을 확인할 수 있다. ('체'나 '데' 라고 부른다고 한다.)

 

 

5. Useful Algebra

Commutative Laws(교환법칙), Associative Laws(결합법칙), Distributive Laws(분배법칙), DeMorgan's Laws(드모르간의 법칙)

 

 

6. Point functions

1.  $f(x) = 2x, -\infty$ $ < x < $ $ \infty $
2. $$g(x, y) =\begin{cases} {e}^{-x-y},\;  \; 0 < x < \infty,\ 0 < y < \infty \\ 0,\; \; elsewhere \end{cases}$$
3. $$h(x_1,...,x_n) = \begin{cases} 3x_1 \cdots x_n, \; \; 0 \leq x_i \leq 1, i = 1, 2, \ldots, n \\ 0, \; \; elsewhere \end {cases}$$

Point function은 Point가 input되고 하나의 값이 도출된다는 것을 의미한다. 

 

 

7. Set functions

Let $C$ be a set in two-dimensional space and 

$$Q(C) = \begin{cases} the \ area \ of \ C, \;\; C \ has \ a \ finite \ area \\ undefined, \;\; otherwise \end{cases}$$ 

1. $$ C = {(x, y) : x^2 + y^2 \leq 1} \to Q(C) = \pi \times 1^2 = \pi$$
2. $$ C = {(0, 0), (1, 1), (0, 1)} \to Q(C) = 0 + 0 + 0 = 0 $$
   1. 점의 넓이는 0이기에 0 + 0 + 0 이다.
3. $$ C = {(x, y) : 0 \leq x, 0 \leq y, x + y \leq 1} \to Q(C) = \frac{1}{2}$$