exestudiary

Random vector

Joint Cumulative Distribution Function

Joint PDF / PMF

Marginal CDF and PDF / PMF

example

Expectation

Theorem

Remark

Example

Joint Moment Generating Function

Remark

example

Expected value of Random vector

Theorem

Markov's inequality

Chebyshev's inequality

Convex function

Theorem

Jenson's inequality

example

Mean and Variance

example

r-th moment and Central moment

example

Moment Generating Function

MGF

CGF

Uniqueness of MGF

example

Expectation

Theorem

1.8.1

1.8.2

Continuous Random Variables

Transformations

example

Discrete Random Variables

Transformations

Example

Python의 datetime 모듈은 날짜와 시간을 처리하기 위한 기본 내장 모듈입니다. 

시계열 데이터 전처리에 있어 핵심적인 역할을 하는데, 시계열 데이터 분석은 시간의 흐름에 따른 패턴을 찾는 과정이기 때문에, 날짜와 시간을 다루는 것은 필수적입니다. 

datetime 모듈은 다음과 같은 주요 클래스를 제공합니다. 

datetime.datetime:

날짜와 시간을 모두 포함하는 클래스입니다. 특정 날짜와 시간을 생성하고, 두 datetime 객체 간의 차이를 계산하거나, 날짜와 시간을 포맷팅하는데 사용됩니다. 

datetime.date:

날짜만을 포함하는 클래스입니다. 연도, 월, 일 정보를 다루며, 날짜 간의 차이를 계산할 수 있습니다. 

datetime.time:

시간만을 포함하는 클래스입니다. 시, 분, 초, 마이크로초 정보를 다룹니다. 

datetime.timedelta:

두 datetime 객체 간의 차이를 나타내는 클래스입니다. 시간 간격을 계산하고, 날짜와 시간에 간격을 더하거나 뺄 수 있습니다. 

문자열을 datetime 객체로 변환: 데이터셋에서 날짜와 시간이 문자열로 저장된 경우, 이를 datetime 객체로 변환하여 다양한 시간 연산을 수행할 수 있습니다. 

시간 간격 계산: 두 사건 사이의 시간 간격을 계산하여 분석에 활용할 수 있습니다.

날짜/시간 정규화: 날짜와 시간을 표준 형식으로 변환하여 일관된 데이터 처리를 할 수 있습니다. 

특정 시점 추출: 월말, 분기말 등의 특정 시점을 추출하여 분석할 수 있습니다. 

시간 기반 특성 생성: 요일, 월, 분기 등의 시간 기반 특성을 생성하여 모델링에 활용할 수 있습니다. 

적용

현재 날짜와 시간 가져오기 

now = datetime.now()

time delta 클래스를 이용한 날짜 연산

future_date = now + timedelta(days=100)

timedelta 클래스는 기간을 표현하며, 날짜나 시간에 더하거나 빼는 연산에 사용됩니다. 예를 들어, 100일 후의 날짜를 계산하려면 timedelta(days = 100)를 현재 날짜에 더해주면 됩니다. 

날짜만 추출

future_data_only = future_date.date()

경우에 따라 시간 부분을 제외하고 날짜만 필요할 수 있습니다. 이때는 datetime객체의 .date() 메서드를 사용하여 날짜 부분만 추출할 수 있습니다. 

시간 차이 측정

from datetime import datetime, timedelta

# 현재 날짜와 시간
now = datetime.now()

# 100일 뒤의 날짜 계산
n_days = 100
future_date = now + timedelta(days = n_days)

# 두 날짜 사이의 차이 계산
time_diff = future_date - now
print(f"{n_days}일 뒤까지의 시간 차이: {time_diff}")

# 시간 단위로 변환
hours_diff = time_diff.total_seconds() / 3600
print(f"시간 차이 (시간 단위로): {hours_diff:.2f} 시간")

# 과거 날짜 계산 (예: 어제)
yesterday = now - timedelta(days = 1)
print(f"어제 날짜와 시간: {yesterday}")

• timedelta 객체를 사용하여 미래 날짜를 계산하려면, 현재 날짜에 timedelta(days=n_days)를 더해줍니다.
• 두 날짜의 차이를 계산할 때는 datetime 객체끼리의 뺄셈을 사용합니다. 이로 인해 또 다른 timedelta 객체가 생성됩니다.
• timedelta 객체의 전체 초(second)를 계산하려면 total_seconds() 메서드를 사용하고, 이를 시간 단위로 변환하려면 3600으로 나눕니다.
  total_seconds(): 전체 시간을 초 단위로 반환 
• 과거 날짜를 계산하려면 현재 날짜에서 timedelta(days=1)을 빼줍니다.
  days: 일 단위 차이
  seconds: 초 단위 차이(일 단위를 제외한 초)
  microseconds: 마이크로초 단위 차이(초 단위를 제외한 마이크로초)
  
  

datetime의 date 클래스 생성과 날짜 비교

from datetime import date

# 오늘 날짜 가져오기
today = date.today()
print(f"오늘 날짜: {today}")

# 특정 날짜 설정
special_day = date(2024, 12, 25)
print(f"특별한 날: {special_day}")

# 날짜 비교
if today < special_day:
    print("특별한 날이 아직 오지 않았습니다.")
elif today == special_day:
    print("오늘은 특별한 날입니다!")
else:
    print("특별한 날이 지났습니다.")

• date 클래스를 datetime 모듈에서 가져오려면 from datetime import date를 사용합니다.
• 오늘 날짜를 가져오기 위해 date.today() 메서드를 사용합니다.
• 특정 날짜를 설정할 때 date(연도, 월, 일) 형태로 작성합니다. 예를 들어, special_day = date(2024, 12, 25)와 같이 설정합니다.

datetime의 time 클래스 생성과 시간 비교

from datetime import datetime, time

# 현재 시간 가져오기
now = datetime.now()
current_time = now.time()
print(f"현재 시간: {current_time}")

# 특정 시간 설정
start_time = time(9, 0)
end_time = time(17, 0)
print(f"업무 시작 시간: {start_time}, 종료 시간: {end_time}")

# 시간 비교
if start_time <= current_time <= end_time:
    print("현재는 업무 시간입니다.")
else:
    print("현재는 업무 시간이 아닙니다.")

• time 클래스를 datetime 모듈에서 가져오기 위해 from datetime import time을 사용합니다.
• 현재 시간에서 시간 부분만 가져오기 위해 now.time() 메서드를 사용합니다.
• 특정 시간을 설정하려면 time(시, 분) 형태로 작성합니다. 예를 들어, start_time = time(9, 0)과 end_time = time(17, 0)를 설정합니다.

datetime의 date와 time 결합하여 datetime 생성

from datetime import datetime, date, time

# 특정 날짜와 시간 설정
meeting_date = date(2024, 1, 15)
meeting_time = time(14, 30)

# 날짜와 시간을 결합하여 datetime 객체 생성
meeting_datetime = datetime.combine(meeting_date, meeting_time)
print(f"회의 일시: {meeting_datetime}")

• datetime 객체를 생성하기 위해 datetime.combine() 메서드를 사용합니다. 이 메서드는 특정 날짜(date 객체)와 시간(time 객체)를 결합하여 datetime 객체를 만듭니다.

날짜 포맷팅: strftime을 활용한 날짜 및 시간 형식 지정

from datetime import datetime

# 현재 시간 얻기
now = datetime.now()

# 기본 포맷으로 출력 (예시: 2024-08-07 05:40:28)
basic_format = now.strftime('%Y-%m-%d %H:%M:%S')
print(f"기본 포맷: {basic_format}")

# 한글 포맷으로 출력 (예시: 2024년 08월 07일 05시 40분 28초)
korean_format = now.strftime('%Y년 %m월 %d일 %H시 %M분 %S초')
print(f"한글 포맷: {korean_format}")

# 날짜만 출력 (예시: 2024/08/07)
date_only_format = now.strftime('%Y/%m/%d')
print(f"날짜만: {date_only_format}")

# 12시간제 시간만 출력 (예시: 05:40 AM)
time_12h_format = now.strftime('%I:%M %p')
print(f"12시간제 시간만: {time_12h_format}")

# 요일과 월 이름 포함 포맷 (예시: Wednesday, 07 August 2024)
weekday_month_format = now.strftime('%A, %d %B %Y')
print(f"요일과 월 이름 포함 포맷: {weekday_month_format}")

# ISO 8601 표준 포맷 (예시: 2024-08-07T05:40:28)
iso_format_basic = now.strftime('%Y-%m-%dT%H:%M:%S')
print(f"ISO 8601 표준 포맷 (기본): {iso_format_basic}")

# ISO 8601 표준 포맷 (예시: 2024-08-07T05:40:28+0900)
# 시간대 포함
iso_format_with_timezone = now.strftime('%Y-%m-%dT%H:%M:%S%z')
print(f"ISO 8601 표준 포맷 (시간대 포함): {iso_format_with_timezone}")

strftime 메서드는 datetime 객체를 특정 형식의 문자열로 변환하는 강력한 도구입니다. 이 메서드를 사용하면 날짜와 시간을 다양한 형식으로 포맷팅할 수 있어, 보고서 작성, 데이터 시각화, 로그 기록 등에서 유용하게 활용할 수 있습니다. 

주요 포맷 코드 

• %Y: 4자리 연도 
• %m: 2자리 월
• %d: 2자리 일
• %H: 2자리 24시간제 시간(00-23)
• %l: 2자리 12시간제 시간(01-12)
• %M: 2자리 분(00-59)
• %S: 2자리 초(00-59)
• %p: AM/PM 표시
• %A: 요일 (예: Wednesday)
• %B: 월 이름 (예: August)
• %Y-%m-%d: ISO 8601 표준 날짜 형식 
• %d %B %Y: 일 - 월이름 - 연도 형식(예: 07 August 2024)

(학부생이라 오류가 있을 수 있습니다. 댓글로 정정해서 남겨주시면 감사드리겠습니다.)

단순선형회귀는 input이 하나이고 이 input을 통해 y값을 예측하는 모형입니다.

input이 만약에 여러 개면 Mutiple linear regression이라고 하는데 이 부분은 다음 포스팅 때 다뤄보도록 하겠습니다.

단순선형회귀는 독립변수 하나와 종속변수의 관계를 관측할 수 있게 해주는 설명력이 높은 통계적 방법입니다. 

회귀분석의 첫 단추를 끼우는 만큼 단순선형회귀에 대해 제가 배운 내용을 바탕으로 설명을 해보겠습니다. 

Simple linear regression model

• The response variable $Y$ 와 the predictor variable $X$ 는 $$ Y = \beta_0 + \beta_1X + \epsilon $$, where $\epsilon$ is a random error with $E(\epsilon) = 0$. (Population 수준의 모델)

Simple regression model with the observed data

• The regression model for the observed data is $$ y_i = \beta_0 +\beta_1x_i + \epsilon_i,   i = 1, 2, ...., n$$, where $\epsilon_i$ represents the error in $y_i$.

Parameter estimation

• To estimate the unknown regression coefficients, $\beta_0$ and $\beta_1$, the ordinary least squares(OLS) method is commonly used. 
• From the regression model, we can write $$\epsilon_i = y_i - \beta_0 - \beta_1x_i,  i = 1, 2,.... , n.$$
• We estimate $\beta_0$ and $\beta_1$ by minimizing $$ S(\beta_0, \beta_1) = \displaystyle\sum_{i=1}^{n}{(y_i - \beta_0 - \beta_1x_1)^2}$$ >> 가장 오른쪽에 있는 식은 Convex function이어서 미분 최솟값 구하면 됩니다.  

우리가 parameter 값을 구하고 싶은데, 현실은 observed data의 X와 Y값 만을 알고 있는 상태입니다. 

그렇기 때문에 우리는 parameter 값을 추정하는 겁니다.  실제 X값과 Y값을 통해 구할 수 있는데,

추정은 다음과 같은 식을 통해 구할 수 있습니다. 

OLS estimate 

• It can be shown that the estimates of \beta_0 and \beta_1 that minimize $S(\beta_0, \beta_1)$ are given by $$\hat{\beta_1} =  \frac{\sum_{i = 1}^{n}{(y_i - \overline{y})(x_i - \overline{x})}}{\sum_{i = 1}^{n}{(x_i - \overline{x})^2}}$$ and $$ \hat{\beta_0} = \overline{y} -  \hat{\beta_1}\overline{x}$$
• $ \hat{\beta_0} = \overline{y} -  \hat{\beta_1}\overline{x}$ 증명

• $\hat{\beta_1} =  \frac{\sum_{i = 1}^{n}{(y_i - \overline{y})(x_i - \overline{x})}}{\sum_{i = 1}^{n}{(x_i - \overline{x})^2}}$ 증명

이렇게 하여 $\hat{\beta_0}$ 과 $\hat{\beta_1}$을 구할 수 있는데,

여기서 $\hat{}$ 을 취한 이유는 True 값(추정치가 아닌 값)을 모르고 추정치만 알고 있어서 $\hat{}$을 취했습니다.

Fitted values

• The OLS regression line is obtained as $$ \hat{Y} = \hat{\beta_0} + \hat{\beta_1}X $$.
• The $i$-th fitted value is given by $$ \hat{y_i} = \hat{\beta_0} + \hat{\beta_1}x_i,  i = 1, 2, ..., n$$.
• Example.

이렇게 fitted 했다면 해석은 어떻게 해야 하는지 궁금할 수 있을 것 같은데요... 

그런데 그 전에 $ Y = \beta_0 + \beta_1X + \epsilon $ 이 식 양변에 평균을 취하게 되면 다음과 같이 나옵니다.

$$ E(Y) = \beta_0 + \beta_1X$$.

왜 이렇게 나오냐면 $E(\beta_0 + \beta_1X + \epsilon)$ 에서 $ \beta_0 + \beta_1X $는 이미 값을 알고 있고 그렇기 때문에 상수로 처리됩니다. 그러면 자연스럽게 $ \beta_0 + \beta_1X  + E(\epsilon)$ 이 되고, 회귀분석에서는 $E(\epsilon) = 0$이라고 하는 아주 중요한 가정이 있기에 자연스럽게 $E(Y) = \beta_0 + \beta_1X$ 이 식이 유도가 됩니다. 

Interpertation of coefficients

• Recall that $$ E(Y) = \beta_0 + \beta_1X$$.
  - $\beta_0$ is the expected value of $Y$ when $X = 0$.
  - $\beta_1$ is the amount of increase in the expected value of $Y$ for every one-unit increase inn $X$.
• For example E(minutes) = 4.162 + 15.509 $\times$ Units.
  - The average length of calls is the 4.162 minutes when no component needs to be repaired.
  - The average length of calls increases by 15.509 minutes for each additional component that has to be repaired. 

Test of hypothesis

• In the simple linear regression analysis, the usefulness of the predictor(= X) can be tested by using the following hypothesis test:
  $H_0: \beta_1 = 0   versus   H_1: \beta_1 \neq 0$.
  (X와 Y의 linear relationship을 $\beta_1$을 체크하여 확인할 수 있습니다.)
  (주의할 점: $\hat{\beta_1}$을 이용해서 가설검정을 하는 것이 아닙니다.)
• To this end, we need to further assume that
  
  

이렇게 간단한 식에 4가지의 가정이 들어가있습니다. 중요하기에 반드시 알아두는게 좋다고 합니다.

1. $E(\epsilon_i) = 0$

2. $Var(\epsilon_i) = \sigma^2$

3. $\epsilon_i$ ~ Normal

4. $\epsilon_1, ..... \epsilon_n$ are independent.

T-test

• Under $H_0$ : $\beta_1 = 0$, it can be shown that $$ T = \frac{\hat{\beta_1}}{s.e.(\hat{\beta_1})}$$ follows a Student's t distribution with n - 2 degrees of freedom, where $$ s.e.(\hat{\beta_1}) = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}{(y_i - \hat{y_i})^2/(n-2)}}{\sum_{i=1}^{n}{(x_i - \overline{x})^2}}}$$.

Using t-distribution, we can compute the p-value. At significant level $\alpha = 0.05$, we reject $H_0$ if the p-value $\leq$ 0.05. Otherwise, we fail to reject $H_0$.

보통은 모델이 유용하기를 바라기 때문에 귀무가설을 기각하기를 원합니다. 

앞서말한 계수들 뿐만 아니라 $\sigma^2$를 추정하는 것도 중요한데요

바로 error의 변동성을 설명하기 위함입니다.

Estimation of $\sigma^2$

• Define $$ e_i = y_i - \hat{y_i}, i = 1, 2, .... , n $$ which are called the residuals.
  이렇게 하는 이유는 $\epsilon_i = y_i - \beta_0 - \beta_1x_i$를 
• We can estimate $\sigma^2$ by using $$ \hat{\sigma^2} = \frac{\sum_{i=1}^{n}{e_i^2}}{n - 2} = \frac{\sum_{i=1}{n}{(y_i - \hat{y_i})^2}}{n-2} \equiv $$ MSE, 
  where $\sum_{i=1}{n}{(y_i - \hat{y_i})^2}$ is referred to as SSE (Sum of Squares of Errors) and n -2 is called the df(degrees of freedom).
  여기서 n은 전체 데이터이고 2는 추정치의 개수입니다. 추정치는 $\beta_0, \beta_1$으로 2개가 존재했습니다. 그렇기에 2를 빼주는 것입니다. 

SAS라는 통계 프로그램을 통해서 MSE를 관측할 수 있는데 밑에 그림의 빨간색 부분이 MSE입니다. 

MSE in SAS

Confidence intervals 

• The (1 - $\alpha$) $\times$ 100% confidence intervals (or limits) for $\beta_0 and \beta_1$ are given by $$ \hat{\beta_0} \pm t_{n-2,\alpha/2} \times s.e.(\hat{\beta_1})$$,
  where $t_{n-2, \alpha/2}$ is the (1 - $\alpha$ / 2) percentile of a t - distribution with n - 2 df

이렇게 신뢰구간도 설정하고 회귀모델을 fitting 했으면 이제 예측을 해봅시다

(예측은 크게 설명력과 예측력으로 구분할 수 있습니다.)

Prediction

• There are two types of predictions:
  1. Prediction of the value of Y given X, i.e., $Y = \beta_0 + \beta_1X + \epsilon$.
  2. Prediction of the mean of Y given X, i.e., $E(Y) = \beta_0 + \beta_1X$.

여기서 하나 알아갈 수 있는 점은 confidence interval은 prediction of the value of Y given X가 넓을 수 밖에 없습니다. 왜냐하면 $\epsilon$, 즉, error가 포함되어 있기 때문입니다. 

• Given $X = x_0$,
  - in the first case, the predicted value is $\hat{y_0} = \hat{\beta_0} + \hat{\beta_1}x_0$.
  - in the second case, the mean response is $\hat{\mu_0} = \hat{\beta_0} + \hat{\beta_1}x_0$.

Prediction intervals

• The (1 - $\alpha$) $\times$ 1000% prediction limits are given by $$\hat{\mu_0} \pm t_{n-2,\alpha/2} \times s.e.(\hat{\mu_0})$$ and $$\hat{y_0} \pm t_{n-2, \alpha/2} \times s.e.(\hat{y_0})$$,
  where $$s.e.(\hat{\mu_0}) = \hat{\sigma}\sqrt{\frac{1}{n} + \frac{(x_0 - \overline{x})^2}{\sum_{i=1}^{n}{(x_i -\overline{x})^2}}}$$ and $$ s.e.(\hat{y_0}) = \hat{\sigma}\sqrt{1+ \frac{1}{n} + \frac{(x_0 - \overline{x})^2}{\sum_{i=1}^{n}{(x_i -\overline{x})^2}}} $$
  
  (여기서 보면 Expected value와 value 값의 interval을 측정할 때 차이점이 보입니다. 바로 1이 더해졌냐 안 더해졌냐인데요. value값은 아까 Prediction 파트에서 value값의 confidence interval이 넓을 수 밖에 없다고 한 것과 비슷한 매락의 이야기입니다. $\sigma^2$은 $\epsilon$의 분산이고 $\epsilon$만큼 더해진 것을 확인할 수 있습니다. 그렇기에 더 넓은 confidence interval을 가질 수 밖에 없다고 설명한 것입니다.)

Role of $\sigma^2$

• 분산이 크다는 것은 값들이 선에 비교적 가깝지 않고, 분산이 작다는 것은 선에 비교적 선에 가깝다는 얘기입니다. 
• 그러나 분산 즉, $\sigma$의 분산만을 가지고는 선형성을 추론하기에 어려움이 있습니다. 가령, 범위가 다를 때는 $\sigma$의 분산으로 선형성을 추론하면 오류가 발생할 수 있습니다.

그래서 이 상황에서 고안된 것이

Measuring the strength of the linear relationship

• To remedy the limitation of $\sigma^2$, we can propose to use $$\frac{\sigma^2}{Var(Y)}$$, since it decreases if $\sigma^2$ decreases or $Var(Y)$ increases.
• 우리는 $\sigma^2$의 값을 모르기 때문에 $\sigma^2$의 추정치인 MSE를 사용할 것입니다. 복습을 하자면 $$MSE = \frac{\sum_{i=1}^{n}{(y_i-\hat{y_i})^2}}{n-2}$$ 이고 $Var(Y)$도 모르기 때문에 추정치인 $\hat{Var}(Y)$을 사용할 것입니다. 이것도 다시 remind 하자면 $$ \hat{Var}(Y) = \frac{\sum_{i=1}^{n}{(y_i-\overline{y})^2}}{n-1} $$ 입니다. 

여기서 선형성인 것을 나타내주는 지표인 결정계수가 나옵니다.

$R^2$

• To measure the strength of the linear relationship, we define the so-called $R^2$ as follows:
  $$R^2 = 1 - \frac{\sum_{i=1}{n}{(y_i - \hat{y_i})^2}}{\sum_{i=1}{n}{(y_i-\overline{y})^2}} = 1 - \frac{SSE}{SST}$$
  where SST stands for the total sum of squared deviation in $Y$ from its mean.

Property of $R^2$

• It can be shown that $$\displaystyle\sum_{i=1}^{n}{(y_i - \overline{y})^2} = \displaystyle\sum_{i=1}^{n}{(\hat{y_i}-\overline{y})^2} + \displaystyle\sum_{i=1}^{n}{(y_i - \hat{y_i})^2}$$
  where 왼쪽 식에서 첫 번째 식은 SSR(the sum of squares due to regression)으로 불린다.
  That is, $$SST = SSR + SSE$$.
  
  
• This implies that $$0 \leq R^2 \leq 1$$
  (그 이유는 $R^2  = SSR/SST$ and $0 \leq SSR \leq SST$).

지금 어떻게 살고있나 궁금하지 않겠지만 

미래에 나에게 떳떳하기 위해 이렇게 일기를 씁니다~

네... 열심히 살고 있냐 물었을 때 아니라는 말이 제일 먼저 나올 것 같네요 

주변 사람들은 저를 바쁘다고 생각하겠지만(안 할 수도 있지만) 실상은 노는거 좋아하고 롤하는거 좋아하고 농구만 하면서 인생을 즐기고 싶은 한 청년일 뿐입니다.. 

그렇다면 요즘 뭐하고 있냐 하면은

프로젝트 2개에 머신러닝 공부, 통계학 공부, 수학 공부 하고 있습니다

프로젝트는 데이터 분석 프로젝트인데 가끔 재능이 없는건가 싶을 때 한 번씩 있는데 

그럴 때마다 교수님이나 데이콘 관계자 분들이 이메일로 잘하고 있고 좋은 태도로 임하고 있다고 해서 도움이 많이 됐던 것 같네요

통계학이랑 수학은 푸는 건 정말 재밌고 혼자 공부하면 알아가는 맛은 있는데 교수님 수업은 왜이렇게 힘든지 모르겠네요 아 물론 회귀분석은 진짜 재밌습니다! 정리해서 글 올려야하는데 계속 미루네요.. 조만간 올리겠습니답

요즘 좋아하는건 롤이랑 농구인데 

진짜 저 2개 하고 있을 때는 체력적으로 지친 적이 별로 없는 거 같아요 롤은 4-5시간을 해도 다른 애들 허리 아프다고 할 때 저 혼자 더 남아서 할 때도 있고 농구는 경기 끝나면 슛을 좀 더 하고 싶어서 계속 던지고 있고 참 이거 2개로 먹고 살 수만 있다면 참 좋을텐디

그런데 그게 안되니깐 조금 아쉽네요 하핫

이런 와중에 저한테 꿈이 하나 생겼습니다

원하는 대학원과 기업이 생겼는데요 

말은 못하겠지만 우리나라에서 가장 좋거나 다섯 손가락 안에 드는 곳이라고 생각합니다

그래서 이제 겉으로만 열심히 살아보이는 게 아닌 나 자신한테도 떳떳하게 열심히 산다고 생각하고 

주변에 제가 이 정도로 열심히 산다고 말하는 사람이 아닌 주변에서 먼저 열심히 산다고 말해주는 그런 인물이 되겠습니다

앞으로의 길이 험난해지기 전에 미래에 제가 잘 할 수 있도록 용기를 줄 수 있는 말을 지금 해주고 싶었네요 하핫

말이 너무 길었고 근황토크도 아니긴 했는데 넵 뭐 옙 제 블로그이고 잘 됐을 때 제가 어떤 심정을 가지고 있었는지 보고 싶어서 글을 남기는 거니깐 너무 이상하게 보지는 말아주세여 ㅎㅎ

미래에 내가 이 글을 읽으면 어떤 감정일까 참 궁금합니다

그러면 여러분 9월 한 달 잘 마무리하시고 앞으로의 일 다 잘 되길 기도하겠습니다 파이팅

Random variables(확률 변수)

random variable 은 일종의 함수라고 생각하면 된다.

probability space에서 real space(실수 집합)으로 mapping이 된다고 생각하면 된다. 

예를 들어 random variable $ X $를 주사위를 두 번 굴려서 나온 윗 면의 합이라고 하면,

$X(i, j) = i + j$로 나타낼 수 있고 $ X $의 space는 {2, ... 12}가 된다. 

The Sample space는 $ {(i, j) : 1 \leq i, j \leq 6} $이 되고 $ P[{(i, j)}] = 1 / 36 $이다.

즉, 주사위 윗면의 의미로서 1, 2, 3, 4, 5, 6이 X라는 확률변수 함수를 만나서 실수로 표현이 될 수 있다는 것이다.

Probability Mass Function

여기서 앞서 말한 주사위 사례를 들어보자. 

$B_1 = {x : x = 7, 11}$ and $B_2 = {x: x = 2, 3, 12}$ 라고 할 때,

$P_x(B_1) & P_x(B_2)$를 구해보자. 그러면 간단하게 다음과 같이 나타내면 된다. 

Probability Density Function

Choosing a real number at random from (0, 1).

Let $X$ be the number chosen & the space of $ X $ is $ D $(데, space의 개념이다.) = (0, 1).

The pdf of $X$ is $f_X(x) = I_(0 < x < 1)$, where $I_A$ be an indicator function of a set $A$.

E.g. the probability that $X$ is less than an eighth or greater than seven eights is 

$$ P[{X < 1/8} \cup {X > 7/8}] = \int_0^\frac{1}{8} \mathrm{d}x + \int_\frac{7}{8}^1 \mathrm{d}x = \frac{1}{4}$$ 

Cumulative Distribution Function(CDF)

Example 

Suppose we roll a fair die. Let $X$ be the upface of the roll and the space of $X$ is {1, 2, 3, 4, 5, 6}.  

The pmf is $p_X(i) = 1/ 6, i = 1, 2, 3, 4, 5, 6$.

If $x < 1, P(X \leq x) = 0$; If $1 \leq x < 2, P(X \leq x) = p_X(1) = 1 /6$, and so on. 

Hence, the cdf of $X$ is

= 위에 D가 있는 것은 X 와 Y의 확률 변수가 같다는 의미가 아니라 CDF가 같다는 뜻이다. 즉, 분포적 성질이 같다는 것과 같다. 

Theorems